Varjo oli alun perin Naantalin poikia ja hän soitteli nuorena klarinettia. Ammattiura häämötti jo valmiina, kun hän valmistui lasimestariksi. 1950-luvulla harrastajateatteri imaisi kuitenkin puoleensa Turussa ja pian tuli selväksi, että näyttämötaiteesta tulisikin Varjon leipäpuu.

Turusta hän suuntasi Keski-Suomeen, jossa tutuiksi tulivat Jyväskylän paikallisteatterit. Vuonna 1961 hän palasi puoleen väliin Turkua, kun Tampereen Teatteri tarvitsi tuoretta näyttelijävoimaa. Tampereella se tunnetuin rooli syntyi kuitenkin Pyynikin Kesäteatterissa, jossa pyöri Edvin Laineen ohjaama Tuntematon Sotilas. Tamperelainenhan ei osaa turkulaista näytellä ja niinpä Varjo sai Hietasen roolin.

Vuonna 1963 hän karisti Tampereen tomut ja suunnisti Kansallisteatteriin. Vuonna 1965 vanhat kotikonnut vetivät puoleensa ja Varjo pestautui Turun kaupunginteatteriin, jossa hän näytteli vuoteen 1969 asti. Toinen jakso samassa talossa osui Ralf Långbackan ja Kalle Holmbergin johtaman kotkien kauden alkuun, eli vuosille 1971–73.

Välillä Varjo heivasi teatterin taka-alalle, mutta teki paluun KOM-teatterissa vuonna 1978. Samoihin aikoihin alkoivat myös Mainostelevision uuden draamasarjan Rauhanranta 12 filmaukset, jotka jatkuivat aina vuoden 1981 näyttelijälakkoon asti. Siinä Varjo näytteli Meltomäen Mattia, joka tapasi naapurustoaan kuvitteellisessa Ranta-pubissa.

Matti Varjo ei ollut kovinkaan monessa elokuvassa, mutta jälki oli sitäkin vakuuttavampaa. Mies korjasi Jussin talteen kahdestakin eri sivuosasta. Ensimmäinen kiinnitys tuli faktorin roolista Erkko Kivikosken vuonna 1969 ohjaamasta mustavalkofilmistä Kesyttömät veljekset. Jälkimmäinen tuli niinkin myöhään kuin vuonna 1996. Kyseessä oli Markku Pölösen edellisenä vuonna ensi-iltansa saanut Kivenpyörittäjän kylä. Varjo esiintyi siinä vanhana tarinoivana ukkona.

Kustavissa vapaa-aikansa viettänyt Varjo menehtyi Turussa vuoden 2006 joulupäivänä 81 vuoden iässä.